Νέα ασυμπτοτικά και προ-ασυμπτοτικά αποτελέσματα για τις ακραίες τιμές βροχοπτώεων με χρήση της θεωρίας πολυμορφοκλασματικότητας

Σε αντίθεση με την ευρέως αποδεκτή άποψη, η θεωρία ακραίων τιμών (extreme value theory, EV) του Fisher-Tippet δεν μπορεί να εφαρμοσθεί για την εκτίμηση ετήσιων μέγιστων βροχής. Κατά παρόμοιο τρόπο, η θεωρία ακραίων υπερβάσεων (extreme excess theory, EE) δεν μπορεί να χρησιμοποιηθεί για την εκτίμηση εντάσεων βροχής πάνω από τιμές κατωφλίου της τάξεως των ετήσιων μεγίστων. Τα εν λόγω συμπέρασματα ισχύουν όχι μόνο για μεγάλες διάρκειες βροχής d, αλλά και για μικρές διάρκειες, καθώς και οριακά όταν d -> 0. Καταλήγουμε στα παραπάνω συμπεράσματα εφαρμόζοντας την θεωρία μεγάλων αποκλίσεων (large-deviation theory) σε στοχαστικά μοντέλα βροχής πολλαπλασιαστικού τύπου με ομοιοθετική (scale-invariant) δομή. Επίσης αποδεικνύουμε διάφορες ασυμπτωτικές, και μη, στατιστικές ιδιότητες των αυτών στοχαστικών προσομοιωμάτων. Για παράδειγμα, στο όριο καθώς d -> 0 η μέγιστη ετήσια ένταση βροχής διάρκειας d, Iyr,d, ακολουθεί γενικευμένη κατανομή μεγίστου (Generalized Extreme Value, GEV) με παράμετρο σχήματος k που είναι σημαντικά μεγαλύτερη από αυτήν που προβλέπεται από την θεωρία ακραίων τιμών (EV) και είναι πάντα στην περιοχή Frechet (EV2). Η τιμή της παραμέτρου k δεν εξαρτάται από την άνω ουρά (ουρά μεγίστων) της περιθώριας κατανομής της εντάσεως βροχής, αλλά από περιοχές στο σώμα αυτής. Για τις ίδιες οριακές συνθήκες, οι υπερβάσεις επιπέδων τιμών εντάσεως βροχής της ιδίας τάξης μεγέθους με αυτήν των ετήσιων μεγίστων ακολουθούν γενικευμένη κατανομή Pareto (Generalized Pareto, GP), με παράμετρο σχήματος k που είναι πάντοτε μεγαλύτερη από αυτήν που προβλέπεται από την θεωρία του Pickand. Για πεπερασμένες τιμές της διάρκειας d, η κατανομή της τυχαίας μεταβλητής Ιyr,d δεν ακολουθεί γενικευμένη κατανομή μεγίστου, αλλά σε συμφωνία με εμπειρικά αποτελέσματα μπορεί να προσεγγιστεί με μεγάλη ακρίβεια από κατανομή ακραίων τιμών τύπου GEV με παράμετρο σχήματος k που είναι φθίνουσα συνάρτηση της διάρκειας βροχοπτώσεως d. Στην παρούσα εργασία αναπτύσσουμε μία μεθοδολογία για την εκτίμηση της παραμέτρου k κάτω από προ-ασυμπτωτικές συνθήκες βασισμένη στην ομοιοθετική συμπεριφορά των χρονοσειρών βροχής, και προτείνουμε μία σχεδόν καθολική σχέση για την παράμετρο σχήματος k(d). Η νέα εκτιμήτρια υπόσχεται να είναι πιο ακριβής και με μειωμένη ευαισθησία σε εξωδειγματικά σημεία σε σχέση με άλλες συμβατικές εκτιμήτριες. Τα εν λόγω αποτελέσματα σηματοδοτούν μία σημαντική αλλαγή κατευθύνσεως στον τρόπο που αντιμετωπίζονται και εκτιμώνται στατιστικά τα ακραία γεγονότα βροχής.